Ricardo Paez Sanchez

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EN TERMODINÁMICA

Descripción matemática:

Una propiedad de un sistema puede ser definida en función de las restantes propiedades a través de una ecuación diferencial. Esto equivale a decir “una propiedad o función de estado es una función de variables de estado”.

Sea Φ la propiedad de un sistema, que depende de las propiedades x e y. Si las propiedades x e y definen completamente al sistema, entonces Φ = Φ(x,y) es una función de estado. De esta manera, un pequeño cambio en la propiedad Φ (dΦ) puede explicarse por pequeños cambios en las propiedades x (dx) e y (dy) de acuerdo con:

Esta expresión se denomina diferencial exacta, y se caracteriza porque su valor (dΦ) depende exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables (x e y). Esta ecuación diferencial total nos proporciona una forma de calcular los cambios de una función de estado a través de los cambios combinados de las variables independientes.

Una diferencial inexacta es una función matemática cuyo valor ya no depende exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables, sino que además, depende del camino seguido para producir estos cambios en los valores de las variables.

Para determinar si una diferencial es exacta o inexacta, se aplica el criterio de Euler. Cualquier diferencial, independientemente de su exactitud o no, puede ser escrita como:

donde M y N son funciones de las propiedades x e y.

Si dΦ es una diferencial exacta, deberá existir una función Φ = Φ(x,y) tal que se cumpla que:

Comparando las dos últimas ecuaciones, se deduce que:

entonces dΦ es diferencial exacta si y sólo si cumple la regla de Schwartz de las segundas derivadas cruzadas, las derivadas segunda de estas funciones deben ser iguales, pues:

Por lo tanto, el criterio de Euler para establecer la exactitud de una diferencial es:

Resumiendo: una propiedad o función de estado es una función de variables de estado. Para que una función Φ sea una función de estado, es necesario y suficiente que la diferencial dΦ sea una diferencial exacta. Las siguientes cuatro afirmaciones son equivalentes; si una de ellas se cumple, las otras tres también se cumplen:

Φ es una función de estado;
dΦ es una diferencial exacta;
∫dΦ = 0 ;
∫dΦ = Φ − Φ , independiente del camino recorrido.

Coeficientes Termodinámicos

Los coeficientes termodinámicos son relaciones entre propiedades termodinámicas. Matemáticamente son derivadas parciales de una variable respecto de otra. Ejemplos:

Coeficiente de dilatación lineal,

Calor específico a presión constante,

Coeficiente de compresibilidad isotérmico,

ECUCIONES DIFERENCIALES EXACTAS EN TRANSFERENCIA DE CALOR

QUE ES:

La ecuación del calor es un modelo matemático (quizás el más sencillo) que trata de describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido.

CAMPOS EN LOS QUE SE EMPLEA:

La ecuación del calor es de importancia fundamental en campos científicos diversos. En matemáticas, es el prototípo de ecuación diferencial parcial parabólica. En estadística, la ecuación del calor está conectada con el estudio de Movimiento browniano; la ecuación de la difusión, una versión más general de la ecuación del calor, se presenta con respecto al estudio de la difusión química y de otros procesos relacionados.

QUE DESCRIBE:

La ecuación del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia. En las matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estadística está relacionada con los procesos aleatorios. Por otro lado, en el campo de la química nos predice, entre otros procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a 0º y otro a 100º, rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 50º.

DE DONDE SE LA OBTIENE:

Esta ecuación se la obtiene de la forma general de una ecuación de derivadas parciales lineal y de segundo orden (EDP) con 2 variables independientes X e Y.

Si “U” representa la variable dependiente Y; y “X” e “Y” representan las variables independientes, entonces tenemos que:

donde A,B,C,...,G son funciones de x e y.

Cuando G(x,y) = 0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se dice que es no homogénea.

Ejemplo::

= 0 Ecuación homogénea

=xy Ecuación no homogénea
Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempeñan un papel importante en Ingeniería son las siguientes.
1. Ecuación bidimensional de Laplace

2.. Ecuación unidimensional de onda

Ecuación unidimensional del calor

En esta investigación vamos a centrarnos solamente en la ecuación del calor ya que es el tema que nos corresponde analizar en la cual no vamos a deducir la forma en que se obtuvo, sino únicamente en cómo se la resuelve para poder aplicarlas en los problemas propuestos.

Para resolverla vamos a aplicar un procedimiento general conocido como método de separación de variables, el cual vimos durante las horas de clase en la materia de matemática avanzada, aquí lo más importante respecto a dicho método.

METODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES:

Este método busca una solución particular en forma de un producto de una función de “x”, una función de “y”, como U(x,y)= X(x). Y(y)

A veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales lineal con 2 variables en 2 ecuaciones ordinarias.

Para hacerlo notemos que:

DONDE: X`derivación ordinaria ; Y`derivación ordinaria

De esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta técnica para la ecuación del calor.el calor.